L’enseignement traditionnel des mathématiques peut, malheureusement, laisser parfois l’impression que les mathématiques se résument en une série de résultats à mémoriser et dont on ne voit pas trop bien l’utilité. Ces résultats semblent des commandements tombés du ciel et semblent relever davantage d’un catéchisme que de sujets stimulant l’imagination.
Or rien de plus faux que cette image. Les mathématiques, au contraire, se sont développées au cours des siècles à travers des débats et des polémiques de personnes qui voulaient comprendre le monde qui nous entoure. L’histoire des mathématiques, c’est l’histoire du travail et de l’imagination qu’il a fallu pour comprendre progressivement la nature.
À ce titre les mathématiques forment un élément essentiel de notre culture et de notre civilisation. Si, en nous permettant de comprendre la nature, elles ont forgé notre passé, elles définiront notre futur tant il reste de choses à comprendre.
L’Histoire des mathématiques doit donc être mieux connue. C’est pour y contribuer que chaque cours de mathématiques en Sciences de la nature, inclut un aspect « culture » qui permet de mieux comprendre leur place dans notre histoire et aussi de mieux comprendre les concepts et résultats que l’on rencontre dans ces cours. Quand on sait d’où viennent les concepts et les débats qu’ils ont suscités, on comprend mieux leur rôle et leur importance.
C’est dans cette optique que l’on propose, pour chaque cours, des textes qui, nous l’espérons, montreront le vrai visage des mathématiques, celui d’une discipline stimulante, omniprésente aujourd’hui et essentielle pour notre avenir.
À quoi servent les mathématiques? Où sont-elles en dehors des
cours de math? Pour répondre à ces éternelles questions,
Le calcul différentiel, découvert au XVIIe siècle, à été à l’origine du développement scientifique et technologique des sociétés occidentales. Il a permis la révolution industrielle et, à ce titre, il a été un des facteurs majeurs du développement de nos sociétés. Les textes qui suivent résument les grandes étapes de son développement.
Ce premier paysage présente un élément essentiel au calcul différentiel. Il permet de voir que la grande famille des nombres s’est développée au fil de l’histoire en soulevant bien des controverses et en affrontant bien des problèmes. Parmi ceux-ci le problème de l’infini sur lequel les mathématiciens ont buté depuis des siècles et, en un certain sens, butent encore.
À l’origine du calcul différentiel, le problème du mouvement. Ce paysage montre comment ce problème, lié à celui de l’infini, a bloqué les mathématiciens pendant des millénaires. Zénon, plusieurs siècles avant JC, avait affirmé, avec ses célèbres paradoxes, que le mouvement était impossible, contrairement au simple bon sens. Il a fallu attendre Newton et Leibniz pour surmonter cet obstacle!
Au début du XVIIe Galilée affirma que les mathématiques étaient le langage de la nature et il mit la science en mouvement rompant avec deux millénaires de sciences aristotéliennes. Il affirma aussi que c’est la terre qui tournait autour du soleil plutôt que l’inverse comme l’affirmait l’Église, ce qui lui valut un procès retentissant de la part de celle-ci. Ce n’est qu’en 1992 que l’Église confessa son erreur! Newton et Leibniz s’engouffrèrent dans la voie ouverte par Galilée et, après deux millénaires, ils mathématisèrent le mouvement en surmontant les paradoxes de Zénon. Le calcul différentiel était découvert!
Sur la lancée des travaux de Newton et Leibniz, les
mathématiciens (Euler, D’Alembert, etc) allaient
développer le calcul différentiel. Cela entraîna une nouvelle façon de
comprendre la nature, le rationalisme. Cette nouvelle approche ne fut pas
étrangère aux révolutions qui allaient changer l’Occident,
Même si elles ont changé notre façon de voir le monde, nous ne pouvons toujours pas définir les mathématiques! Pure invention de l’homme pour certains, simple langage logique pour d’autres, pour d’autres encore les mathématiques sont la réalité ultime du monde dont nos moyens limités ne nous permettent d’en percevoir que des apparences! Le débat reste ouvert et il est paradoxal qu’aujourd’hui encore il soit impossible de définir rigoureusement la discipline la plus rigoureuse qui soit!
Quand on connaît un phénomène, c’est-à-dire la fonction qui le représente, le calcul différentiel permet de l’étudier à partir de cette fonction : sens des variations, variation instantanée, maximums, minimums, etc. Inversement, le calcul intégral permet, lorsqu’on connaît un phénomène par ses variations de remonter au phénomène lui-même, c’est-à-dire la fonction qui le représente.
L’infini est une notion centrale dans le calcul différentiel et intégral : comment déterminer un taux de variation instantané, c’est-à-dire une variation pendant un intervalle de temps nul?, comment additionner une suite infinie de termes?. Voilà des questions de base en calcul différentiel et intégral. La maîtrise de l’infini, de Zénon à Cantor au XIXe siècle aura été on long et périlleux parcours parsemé de résultats étonnants.
C’est probablement en regardant le ciel une nuit étoilée que l’on rencontre pour la première fois l’infini dans la nature. Le ciel peut-il avoir une limite et alors qu’il y aurait-il après cette limite? Pouvons-nous diviser indéfiniment une longueur en deux? Là aussi l’infini est (en partie) maîtrisé et là aussi on rencontre des résultats étonnants.
La géométrie euclidienne que les grecs nous ont léguée a été pendant des siècles le pilier des mathématiques. Cette géométrie semblait représenter notre monde. Mais depuis deux siècles d’autres géométries sont apparues et qui semblent aussi représenter le monde…
Des parallèles peuvent-elles se couper? Par un point extérieur à une droite, est-il possible de tracer une infinité de parallèles à cette droite? Non dit la géométrie euclidienne. Oui disent les géométries apparues au XIXe siècle et qui sembleraient bien représenter aussi notre monde…
À l’origine de la géométrie fractale, il y a un question simple
que s’est posée le mathématicien Benoît Mandelbrot : quelle est la
longueur de la côte de
Le calcul avancé donne les bases de l’utilisation des mathématiques en sciences. Un point majeur ce sont les fonctions à plusieurs variables qui décrivent des phénomènes plus complexes. Si ces fonctions sont trop compliquées, on les approxime par des fonctions du premier degré dites linéaires. Un autre point majeur ce sont les équations différentielles qui décrivent nombre de phénomènes et qu’il suffit de résoudre pour en prévoir l’évolution.
La découverte du chaos est indissociable du développement de l’informatique. C’est en utilisant un ordinateur qu’en 1963 le météorologiste et mathématicien Lorentz a découvert le comportement étrange de certaines fonctions non linéaires aboutissaient à des résultats très différents pour une infime différence au départ. C’est l’effet papillon : un simplement battement d’aile d’un papillon peut engendrer plus tard une tempête à l’autre bout du globe. L’avenir, même défini par des fonctions simples, mais non linéaires, n’est plus prédictible. Or la plupart des phénomènes se décrivent par des fonctions non-linéaires!
Comment l’évolution d’une population définie par la fonction logistique, une fonction très simple du second degré, débouche sur un chaos étrange!
Toutes les ressources nécessaires pour se faire comprendre en français!